Question

4．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)，θ∈[0，π]），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）點(diǎn)D在曲線C上，且曲線C在點(diǎn)D處的切線與直線x+y+2=0垂直，求點(diǎn)D的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}）$，由曲線C在點(diǎn)D處的切線與直線x+y+2=0垂直，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，化為極坐標(biāo)可得答案；
（2）先求出直線l：y=k（x-2）+2與半圓x²+y²=2（y≥0）相切時(shí)k的值，及AB的斜率，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}）$，
由已知得C是以O(shè)（0，0）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的上半圓，
因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，
所以直線OD與直線x+y+2=0的斜率相同，即$θ=\frac{3π}{4}$，
故D點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（-1，1），
極坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}，\frac{3π}{4}}）$；
（2）直線l：y=k（x-2）+2與半圓x²+y²=2（y≥0）相切時(shí)，$\frac{{|{2k-2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}$，
∴k²-4k+1=0，
∴$k=2-\sqrt{3}，k=2+\sqrt{3}$（舍去），
設(shè)點(diǎn)$B（{-\sqrt{2}，0}）$，則${k_{AB}}=\frac{2-0}{{2+\sqrt{2}}}=2-\sqrt{2}$，
故直線l的斜率的取值范圍為$（{2-\sqrt{3}，2-\sqrt{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．