Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）．
（1）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解不等式f（a²-1）+f（2-a）＞0；
（3）證明：|f（x）|≥2|x|．

Answer 1

分析 （1）容易求出該函數(shù)定義域?yàn)椋?1，1），然后求f（-x）=-f（x），從而得出該函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）的解析式，便可看出x增大時(shí)，f（x）增大，從而該函數(shù)為增函數(shù)，從而由原不等式可得f（a²-1）＞f（a-2），從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{-1＜a-2＜1}\\{{a}^{2}-1＞a-2}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出原不等式的解集；
（3）可設(shè)g（x）=f（x）-2x，通過求導(dǎo)數(shù)便可判斷該函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)不等式中都有絕對值，從而可討論x：0≤x＜1時(shí)，便可得到f（x）≥2x，并且此時(shí)f（x）≥0，2x≥0，從而便可得出|f（x）|≥|2x|，同樣的方法證明-1＜x＜0時(shí)，|f（x）|＞|2x|，這樣便可得出|f（x）|≥|2x|．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，則：
$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$；
∴-1＜x＜1；
∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）由f（x）的解析式：x增大時(shí)，ln（x+1）增大，1-x減小，-ln（1-x）增大，從而得出f（x）增大；
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
由f（a²-1）+f（2-a）＞0得f（a²-1）＞f（a-2）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{-1＜a-2＜1}\\{{a}^{2}-1＞a-2}\end{array}\right.$；
解得$1＜a＜\sqrt{2}$；
∴原不等式的解集為（1，$\sqrt{2}$）；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-2x=ln（x+1）-ln（1-x）-2x，g′（x）=$\frac{{2x}^{2}}{1-{x}^{2}}$≥0；
∴g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增；
g（0）=0；
∴①0≤x＜1時(shí)，g（x）≥0；
∴f（x）-2x≥0；
∴f（x）≥2x；
∵f（x）為增函數(shù)，f（0）=0；
∴f（x）≥0；
∴|f（x）|≥|2x|；
②-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0；
∴f（x）＜2x；
f（x）＜0，2x＜0；
∴-f（x）＞-2x；
即|f（x）|＞|2x|；
∴綜上得|f（x）|≥|2x|．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域的概念及求法，函數(shù)奇偶性的定義及判斷方法，增函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)單調(diào)性的定義解不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．