Question

18．${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由定積分的性質(zhì)和幾何意義分別求得${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=0，${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，由定積分的運(yùn)算${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=$\frac{π}{2}$．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx，
由y=xcosx為奇函數(shù)，由定積分的性質(zhì)可知：奇函數(shù)的對(duì)稱區(qū)間上的定積分為0，即${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=0，
${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的幾何意義可知：表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓的一半，
則${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，
故${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的性質(zhì)和幾何意義，考查定積分的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．