Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${a_1}=1，{S_n}={n^2}{a_n}（n∈{N_+}）$
（1）試求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達(dá)式；
（2）證明你的猜想，并求出a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，4計(jì)算出a₁，a₂，a₃，a₄，再計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n；
（2）先驗(yàn)證n=1是否成立，再假設(shè)n=k成立，根據(jù)條件推導(dǎo)a_k+1，得出S_k+1，根據(jù)推導(dǎo)結(jié)果計(jì)算a_n．

解答 解：（1）n=1時(shí)，S₁=a₁=1，
n=2時(shí)，a₁+a₂=4a₂，∴a₂=$\frac{1}{3}$，∴S₂=$\frac{4}{3}$，
n=3時(shí)，S₂+a₃=9a₃，∴a₃=$\frac{1}{6}$，S₃=$\frac{3}{2}$，
n=4時(shí)，S₃+a₄=16a₄，∴a₄=$\frac{1}{10}$，S₄=$\frac{8}{5}$，
猜想：S_n=$\frac{2n}{n+1}$．
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然猜想成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
則S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）²a_k+1，
∴a_k+1=$\frac{{S}_{k}}{{k}^{2}+2k}$=$\frac{2k}{（k+1）（{k}^{2}+2k）}$=$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$，
∴S_k+1=（k+1）²a_k+1=$\frac{2（k+1）}{k+2}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
∴S_n=$\frac{2n}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．