Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）試求λ、μ的值，使得數(shù)列{an+λn2+μn}為等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．證明：n≥2時(shí)，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（2）設(shè)a_n+1=2a_n-n²+3n，可化為a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），利用條件，即可求λ、μ的值；
（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮法，即可證明結(jié)論．

解答：（1）解：∵a₁=1，an+1=2an-n2+3n，
∴a₂=2a₁-1+3=4，a₃=2a₂-4+6=10；
（2）解：設(shè)a_n+1=2a_n-n²+3n，可化為a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，
∴λ=-1，μ=2
又a₁+1²+1≠0
故存在λ=-1，μ=1  使得數(shù)列{an+λn²+μn}是等比數(shù)列；
（3）證明：由（2）得a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1
∴a_n=2^n-1+n²-n，
∴bn=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

∵

1

n2

＜

2

2n-1

-

2

2n+1

∴n≥2時(shí)，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+（

2

3

-

2

5

）+…+（

2

2n-1

-

2

2n+1

）=1+

2

3

-

2

2n+1

證明Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

當(dāng)n=2時(shí)，S_n=b₁+b₂=1+

1

4

=

5

4

而當(dāng)n≥3時(shí)，由bn=

1

n2

＞

1

n

-

1

n+1

得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞

n

n+1

由2n+1＞6，得1＞

6

2n+1

∴Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

對于n≥2，n∈N^*都成立，
∴n≥2時(shí)，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，列出等比數(shù)列的判定，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．