Question

選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（Ⅱ）設x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，求x+y+z的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用絕對值不等式知，|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，依題意即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）利用柯西不等式[4²+(

5

)2+2²][(

x

4

)2+(

y

5

)2+(

z

2

)2]≥(4×

x

4

+

5

×

y

5

+2×

z

2

)2，可求得|x+y+z|≤5，從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，
∴a＞1，
即a的取值范圍是（1，+∞）；
（Ⅱ）由柯西不等式，得[4²+(

5

)2+2²][(

x

4

)2+(

y

5

)2+(

z

2

)2]≥(4×

x

4

+

5

×

y

5

+2×

z

2

)2，
即25×1≥（x+y+z）²，
∴|x+y+z|≤5，
解得：-5≤x+y+z≤5，
即x+y+z的取值范圍為[-5，5]．

點評：本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式、不等式證明等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想，屬于難題．