Question

（本小題滿分14分）已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過右焦點的直線交橢圓于兩點.

（1）若軸上一點滿足，求直線斜率的值；

（2）是否存在這樣的直線，使的最大值為（其中為坐標原點）？若存在，求直線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（1）

（2）

【解析】

試題分析：根據題中的條件，可知橢圓的實軸長為已知的，從而得出a的值，再根據離心率的值，可知c的值，從而得出b的值，橢圓的方程就可以求出，對于第二問中的第一小題，能夠得出M是弦的中點，根據有關中點弦的問題來解決即可，對于第二小題，注意三角形的面積的求解，轉化為求函數(shù)的最值問題.

試題解析：（Ⅰ），∴ 1分

，∴，

∴ 2分

橢圓的標準方程為 3分

（Ⅱ）已知,設直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡得：

∴， 4分

∴的中點坐標為 5分

①當時，，

整理得解得或 7分

②當時，的中垂線方程為，滿足題意.

∴斜率的取值為. 8分

（2）當直線斜率不存在時，此時

9分

當直線斜率存在時

由（1）知

10分

而原點到直線的距離 11分

所以 12分

綜上，

所以滿足題意的直線存在，方程為. 14分

考點：橢圓的方程，橢圓的中點弦所在的直線的斜率，直線被曲線所截得的弦長問題，三角形的面積的有關問題.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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