Question

13．已知 i是虛數(shù)單位，復數(shù)z₁滿足（z₁-2）（1+i）=1-i．
（1）求復數(shù)z₁；
（2）若復數(shù)z₂的虛部為2，且$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$是實數(shù)，求|z₂|．

Answer 1

分析 （1）把已知等式變形，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案；
（2）設z₂=a+2i（a∈R），代入$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$是實數(shù)求得a值，得到z₂，代入復數(shù)模的計算公式得答案．

解答 解：（1）由（z₁-2）（1+i）=1-i，
得z₁-2=$\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2i}{2}=-i$，
∴z₁=2-i；
（2）設z₂=a+2i（a∈R），則$\frac{{z}_{2}}{\overline{{z}_{1}}}=\frac{a+2i}{2+i}=\frac{（a+2i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{2a+2+（4-a）i}{5}$，
∵$\frac{z_2}{{\overline{z_1}}}$是實數(shù)，∴a=4，
則z₂=4+2i，
∴$|{z}_{2}|=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題．