Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)按和分類(lèi)后可確定的正負(fù)，即得的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）的極值點(diǎn)是，因此在時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可證（用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)證明），然后比較和的大小，最終求得最大值．

詳解：（1），．

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2），令，則．

當(dāng)時(shí)，，由（1）的結(jié)論可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,.

當(dāng)時(shí)，，下證.事實(shí)上，令，

則.當(dāng)時(shí)，，所以在為增函數(shù)，且

，即當(dāng)時(shí)，恒成立.

由（1）的結(jié)論，知在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

所以在上的最大值等于．

設(shè)，則

令，易得，因?yàn)?/span>，且在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以在在上單調(diào)遞增，所以在上成立，即.因此，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，.