【題目】如圖,動點M到兩定點A(﹣1,0)、B(2,0)構(gòu)成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設(shè)動點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線y=﹣2x+m與y軸交于點P,與軌跡C相交于點Q、R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),顯然有x>0,且y≠0
當(dāng)∠MBA=90°時,點M的坐標(biāo)為(2,±3)
當(dāng)∠MBA≠90°時,x≠2,由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ,
化簡可得3x2﹣y2﹣3=0
而點(2,±3)在曲線3x2﹣y2﹣3=0上
綜上可知,軌跡C的方程為3x2﹣y2﹣3=0(x>1);
(2)解:直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0(x>1)聯(lián)立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有兩根且均在(1,+∞)內(nèi)
設(shè)f(x)=x2﹣4mx+m2+3,∴ ,∴m>1,m≠2
設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),
∵|PQ|<|PR|,∴xR=2m+ ,xQ=2m﹣ ,
∴ = =
∵m>1,且m≠2
∴ ,且
∴ ,且
∴ 的取值范圍是(1,7)∪(7,7+4 )
【解析】(1)設(shè)出點M(x,y),分類討論,根據(jù)∠MBA=2∠MAB,利用正切函數(shù)公式,建立方程化簡即可得到點M的軌跡方程;(2)直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0(x>1)聯(lián)立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①,利用①有兩根且均在(1,+∞)內(nèi)可知,m>1,m≠2設(shè)Q,R的坐標(biāo),求出xR , xQ , 利用 ,即可確定 的取值范圍.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0.
(1)若方程有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1、x2,且滿足x12+x22=31+|x1x2|,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中
①若,則函數(shù)在取得極值;
②直線與函數(shù)的圖像不相切;
③若(為復(fù)數(shù)集),且,則的最小值是3;
④定積分.
正確的有__________.
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【題目】某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為 和p.
(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為 ,求p的值;
(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與交于兩點,求的值.
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【題目】設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104 , x5=105 , 隨機(jī)變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量ξ2取值 、 、 、 、 的概率也均為0.2,若記Dξ1、Dξ2分別為ξ1、ξ2的方差,則( )
A.Dξ1>Dξ2
B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1<Dξ2
D.Dξ1與Dξ2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位:以失事船的當(dāng)前位置為原點,以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度),則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處,如圖,現(xiàn)假設(shè):
①失事船的移動路徑可視為拋物線 ;
②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;
③救援船出發(fā)t小時后,失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t
(1)當(dāng)t=0.5時,寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo),若此時兩船恰好會合,求救援船速度的大小和方向.
(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1=2,點Q為BC的中點.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求點到平面AQC1的距離.
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