Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）如果A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，求cosα和sinβ
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求cos（β-α）的值；
（Ⅲ）已知點(diǎn)C，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由任意角的三角函數(shù)的定義可得cosα和sinβ的值．
（2）由以上還可得到 sinα=，cosβ=-，由兩角和差的余弦公式可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，利用兩角和差的余弦公式求得函數(shù)f（β）=2sin（β-），由 2kπ-≤β-≤2kπ+，k∈z，以及β為鈍角，求出β的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間，
同理，由 2kπ+≤β-≤2kπ+，k∈z，以及β為鈍角，求出β的范圍，可得函數(shù)f（β）的增減區(qū)間．
解答：解：（1）由題意可得A的坐標(biāo)為（，），B的坐標(biāo)為（-，），由任意角的三角函數(shù)的定義可得，
cosα=，sinβ=．
（2）由以上還可得到 sinα=，cosβ=-，由兩角和差的余弦公式可得
cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-×+×=．
（3）=（cosβ，sinβ）•=-cosβ+sinβ=2sin（β-）．
由  2kπ-≤β-≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ-≤β≤2kπ+，k∈z．
再由β為鈍角可得 ＜β≤，故函數(shù)f（β）的增區(qū)間為（，．
同理，由 2kπ+≤β-≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ+≤β≤2kπ+，k∈z，
再由β為鈍角可得 ≤β＜π，故函數(shù)f（β）的增減區(qū)間[．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的余弦公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．