Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（4-x），g（x）=log₂x．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）+g（x）的值域；
（3）如果對任意的x∈[1，4]不等式（4-2g（x））•f（4-x）-k≤0求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0，構(gòu)造不等式，解得f（x）的定義域；
（2）由對數(shù)的真數(shù)大于0可得f（x）+g（x）的定義域，將函數(shù)解析式化成log₂[x（4-x）]后，考慮x（1-x）這個二次函數(shù)的值域，即可得出結(jié)論．
（3）令y=（4-2g（x））•f（4-x），x∈[1，4]，求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）要使f（x）的解析式有意義，
自變量x須滿足：4-x＞0，
即x＜4，
故f（x）的定義域?yàn)椋?∞，4）；
（2）y=log₂x+log₂（4-x）中，x＞0且4-x＞0，
故f（x）+g（x）的定義域是（0，4）；
∵函數(shù)y=log₂x+log₂（4-x）=log₂[x（4-x）]
∵0＜x＜4，
∴0＜x（4-x）≤4
∴l(xiāng)og₂[x（4-x）]≤2，
∴函數(shù)y=log₂x+log₂（4-x）的值域?yàn)椋?∞，2]．
（3）若不等式（4-2g（x））•f（4-x）-k≤0對任意的x∈[1，4]恒成立，
則k≥（4-2g（x））•f（4-x）對任意的x∈[1，4]恒成立，
令y=（4-2g（x））•f（4-x）
=（4-2log₂x）•log₂[4-（4-x）]
=-2log²₂x+4log₂x，x∈[1，4]，
令t=log₂x，t∈[0，2]，
則y=-2t²+4t，t∈[0，2]，
由于y=-2t²+4t的圖象是開口朝下，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=1時，函數(shù)取最大值2，
故k≥2，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[2，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，恒成立問題，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．