Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+（2a-1）x²+1，當x=-1時，函數(shù)f（x）有極值．
（I）求實數(shù)a的值；
（II）求函數(shù)f（x）在在[-1，1]的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)當x=-1時，函數(shù)f（x）有極值，則f'（-1）=0建立等式，解之即可；
（II）根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．
解答：解：（I）∵f′（x）=3ax²+2（2a-1）x…（2分）
∴f′（-1）=3a-2（2a-1）=0，…（3分）
∴a=2．…（4分）
（II）函數(shù)f（x）=2x³+3x²+1，…（5分）
得f′（x）=6x²+6x，…（6分）
令f′（x）=0，即6x²+6x=0，解得x₁=0，x₂=-1；…（7分）
 f（-1）=0  f（0）=1，f（1）=6                 …（9分）
∴f（x）在[-1，1]的最大值為f（1）=6，最小值f（0）=1．
點評：本題主要考查函數(shù)極值點與其導函數(shù)之間的關系，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導數(shù)是高等數(shù)學下放到高中，是高考的熱點問題，每年必考要給予重視．