Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（2）=1，f′x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＞1，則

b-1

a-2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍，最后利用線(xiàn)性規(guī)劃的方法得到答案．

解答： 解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＜0，原函數(shù)單調(diào)遞減，
∵兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，
∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，畫(huà)出可行域如圖．
k=

b-1

a-2

的幾何意義為點(diǎn)Q（2，1）與點(diǎn)P（x，y）連線(xiàn)的斜率，
當(dāng)P點(diǎn)在A（1，0）時(shí)，k最大，最大值為：

1-0

2-1

=1；
當(dāng)P點(diǎn)在B（0，2）時(shí)，k最小，最小值為：

1-2

2-0

=-

1

2

．
k的取值范圍是（-

1

2

，1）．
故答案為：（-

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件將不等式轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．