Question

【題目】如圖，已知拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），過F的兩條動直線AB，CD與拋物線交出A、B、C、D四點(diǎn)，直線AB，CD的斜率存在且分別是k1（k1＞0），k2．

（Ⅰ）若直線BD過點(diǎn)（0，3），求直線AC與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（0，）；（Ⅱ）32．

【解析】

（Ⅰ）拋物線方程為，設(shè)，，，，，直線代入拋物線方程，當(dāng)時，得，，當(dāng)時，得，進(jìn)而可得值為，寫出直線AC方程，令得，進(jìn)而得出結(jié)論；

（Ⅱ）設(shè)，，，，，直線l的方程是，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理可得，，再求出點(diǎn)C到AB的距離d1，點(diǎn)D到AB的距離d2，，化簡得，設(shè)，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，進(jìn)而得出．

（Ⅰ）由題意可得拋物線方程為，

設(shè)直線代入拋物線方程得，

設(shè)，，，，，

當(dāng)時，得，，

當(dāng)時，，

所以，

直線AC方程是，

令得，

故直線AC與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是，代入得，

設(shè)，，，，，

則，，

，

點(diǎn)C到AB的距離，

點(diǎn)D到AB的距離，

則

，

設(shè)，

則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在內(nèi)最小值，

故當(dāng)，時，．