已知直線l：y=2x與拋物線C：y=
1
4
x2交于A（xA，yA）、O（0，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O與直線l垂直的直線交拋物線C于點(diǎn)B（xB，yB）．如圖所示．
（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）過(guò)拋物線y=
1
4
x2的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，過(guò)這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)A、B的直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果是，指出此定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）拋物線C：y=
1
4
x2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由此能求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=2x
，求出點(diǎn)A坐標(biāo)．聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
2
x
，求出點(diǎn)B坐標(biāo)．由此求出直線AB的方程，從而能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）結(jié)論：過(guò)拋物線y=
1
4
x2的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，過(guò)這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)的直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，4）．設(shè)過(guò)拋物線y=
1
4
x2的頂點(diǎn)的一條直線為y=kx（k≠0），另一條為y=-
1
k
x，聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
k
x
，求出點(diǎn)A坐標(biāo)．聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
k
x
，求出點(diǎn)B坐標(biāo)為（-
4
k
，
4
k2
），由此求出直線AB的方程，從而能證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，4）．
解答： 解：（1）拋物線C：y=
1
4
x2的方程化為x2=4y，
∴2p=4，p=2．…（2分）
∴拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．…（4分）
（2）聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=2x
，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，16）．…（6分）
聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
2
x
，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，1）．…（7分）
所以直線AB的方程為y-1=
16-1
8-(-2)
•(x+2)，…（8分）
令x=0，解得y=4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）．…（9分）
（3）結(jié)論：過(guò)拋物線y=
1
4
x2的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，
過(guò)這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)的直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，4）．…（10分）
證明如下：
設(shè)過(guò)拋物線y=
1
4
x2的頂點(diǎn)的一條直線為y=kx（k≠0），
則另一條為y=-
1
k
x，
聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
k
x
，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為（4k，4k2）．…（11分）
聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
k
x
，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-
4
k
，
4
k2
）．…（12分）
所以直線AB的方程為y-
4
k2
=
4k2-
4
k2
4k-(-
4
k
)
•(x+
4
k
)，…（13分）
令x=0，解得y=4．
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，4）．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線是否過(guò)定點(diǎn)的判斷與證明，解題時(shí)要熟練掌握拋物線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b是異面直線，則下面四個(gè)命題：
①過(guò)直線a至少有一個(gè)平面平行于b；
②在空間中至少有一個(gè)平面分別與a，b都平行；
③在空間中至多有一條直線與a，b都相交．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在某大學(xué)聯(lián)盟的自主招生考試中，報(bào)考文史專業(yè)的考生參加了人文基礎(chǔ)學(xué)科考試科目“語(yǔ)文”和“數(shù)學(xué)”的考試．某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，本次考試中成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的記為A，其中“語(yǔ)文”科目成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的考生有10人．

（Ⅰ）求該考場(chǎng)考生數(shù)學(xué)科目成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；
（Ⅱ）已知參加本考場(chǎng)測(cè)試的考生中，恰有2人的兩科成績(jī)均為A．在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人的兩科成績(jī)均為A的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-x-
x
．
（I）求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）令g（x）=
ax2+ax
f(x)+
x
+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，
1
e
）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對(duì)任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）-g（s）＞e+2-
1
e
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若某產(chǎn)品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差的絕對(duì)值不超過(guò)1mm時(shí)，則視為合格品，否則視為不合格品．在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中；隨機(jī)抽取5000件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品．計(jì)算這50件不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差（單位mm），將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表：
分組頻數(shù)頻率
[-3，-2）50.10
[-2，-1）80.16
（1，2]250.50
（2，3]100.20
（3，4]20.04
合計(jì)501.00
（Ⅰ）現(xiàn)對(duì)該廠這種產(chǎn)品的某個(gè)批次進(jìn)行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品，據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法從差的絕對(duì)值在[-2，-1）和（3，4]的產(chǎn)品中抽取5個(gè)，求其中差的絕對(duì)值在[-2，-1）中的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的5個(gè)產(chǎn)品中任取2個(gè)，差的絕對(duì)值在[-2，-1）和（3，4]中各有1個(gè)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1的焦點(diǎn)F與橢圓C2：x2+
4y2
3
=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求這條拋物線C1方程；
（Ⅱ）設(shè)圓M過(guò)A（1，0），且圓心M在C1的軌跡上，BD是圓M在y軸的截得的弦，當(dāng)M過(guò)去時(shí)弦長(zhǎng)BD是否為定值？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程
x2
4-k
+
y2
k-1
=1表示的曲線為C，則給出的下面四個(gè)命題：
（1）曲線C不能是圓
（2）若1＜k＜4，則曲線C為橢圓
（3）若曲線C為雙曲線，則k＜1或k＞4
（4）若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜k＜
5
2

其中正確的命題是
 
（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x，y滿足
y≥0
y-x≤0
x+y-2≤0
，則點(diǎn)（x，y）到圓（x+1）2+（y-10）2=4上的點(diǎn)的距離的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），則
f(1)
f′(0)
的最小值為（　�。�
A、3
B、
5
2
C、2
D、
3
2

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