Question

10．已知（ax+1）ⁿ的展開(kāi)式中有連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2：3．
（1）求n的值；
（2）若展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為112，求a的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是${C}_{n}^{k}$，${C}_{n}^{k+1}$，${C}_{n}^{k+2}$，由已知得到${C}_{n}^{k}$：${C}_{n}^{k+1}$：${C}_{n}^{k+2}$=1：2：3，利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)求n，k；
（2）利用（1）的結(jié)論，寫(xiě)出展開(kāi)式的特征項(xiàng)，得到關(guān)于a的等式解之．

解答 解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是${C}_{n}^{k}$，${C}_{n}^{k+1}$，${C}_{n}^{k+2}$，由已知得到${C}_{n}^{k}$：${C}_{n}^{k+1}$：${C}_{n}^{k+2}$=1：2：3，
所以$\frac{n!}{（k-1）!（n+1-k）!}：\frac{n!}{k!（n-k）!}：\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$=1：2：3，
所以（k+1）k：（k+1）（n+1-k）：（n+1-k）（n-k）=1：2：3，
所以n=14，k=5；
（2）由（1）可知展開(kāi)式中第14項(xiàng)含x的項(xiàng)，系數(shù)為112，所以T₁₄=${C}_{14}^{13}ax$，系數(shù)為14a=112，解得a=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是由已知求出n，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的特征項(xiàng)求a．