Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

（A＞0，ω＞0）圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（

π

8

，2

2

），則此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的對(duì)稱中心；
（3）用”五點(diǎn)法”畫出（1）中函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（4）試說(shuō)明y=sin2x的圖象是由y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件中所給的函數(shù)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出振幅，根據(jù)兩個(gè)相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)寫出周期，把一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出初相，寫出解析式．
（2）根據(jù)正弦曲線的對(duì)稱中心，使得函數(shù)的自變量等于對(duì)稱中心的橫標(biāo)求出結(jié)果，注意縱標(biāo)是

2

．
（4）y=f（x）先向下平移

2

個(gè)單位得到f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再橫標(biāo)不變縱標(biāo)變化為原來(lái)的

2

2

得到f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（

π

8

，2

2

），
則此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與平衡軸交于點(diǎn)（

3

8

π，0），
∴A=

2

，

T

4

=

π

4

，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=

2

sin（2x+φ）+

2

∵過(guò)（

π

8

，2

2

）點(diǎn)，
∴2

2

=

2

sin（2x+φ）+

2

∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴φ=

π

4

，
∴函數(shù)的解析式是f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

（2）∵正弦曲線的對(duì)稱中心是（kπ，0）
∴2x+

π

4

=kπ，k∈z
∴x=

kπ

2

-

π

8

，
∴函數(shù)的對(duì)稱中心是（

kπ

2

-

π

8

，

2

）
（3）

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	1+ 2	2 2	2	0	2	1+ 2

圖形如右圖

（4）y=f（x）先向下平移

2

個(gè)單位得到
f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再橫標(biāo)不變縱標(biāo)變化為原來(lái)的

2

2

得到
f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，解題的關(guān)鍵是從題設(shè)的條件中求出A，ω，φ這幾個(gè)量來(lái)，本題考查到了求曲線的對(duì)稱中心以及五點(diǎn)法作圖，圖象的變換，本題基本上涉及了三角函數(shù)的重要知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，求φ是本題中的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，由于本題代入的點(diǎn)是頂點(diǎn)，求解時(shí)情況只有一種，若不是頂點(diǎn)時(shí)要注意代入的點(diǎn)是增區(qū)間上的點(diǎn)還是減區(qū)間上的點(diǎn)，以確定相位的值，求出正確的φ．