Question

19．關(guān)于函數(shù)f（x）=sinxcosx的性質(zhì)的描述，不正確的是（　　）

• A． 任意x∈R，f（π+x）=f（x）
• B． 任意x∈R，$f（\frac{π}{2}+x）=f（\frac{π}{2}-x）$
• C． 不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）=0
• D． 不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式，求出函數(shù)的對稱軸與函數(shù)的周期，判斷選項(xiàng)即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，函數(shù)的周期為：π，任意x∈R，f（π+x）=f（x）正確．
對稱軸為：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
所以任意x∈R，$f（\frac{π}{2}+x）=f（\frac{π}{2}-x）$不正確；
當(dāng)${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）∈（0，$\frac{1}{2}$]．所以不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）=0正確；
當(dāng)${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）∈（0，$\frac{1}{2}$]．所不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$正確．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，命題的真假的判斷，考查計算能力．