Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點M(

π

3

，

1

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈(0，

π

2

)，且f(α)=

3

5

，f(β)=

12

13

，求f（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求出A，圖象經(jīng)過點M(

π

3

，

1

2

)，代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2）α，β∈(0，

π

2

)，且f(α)=

3

5

，f(β)=

12

13

，求出cosα=

3

5

，cosβ=

12

13

，然后求出sinα，sinβ，利用兩角差的余弦函數(shù)求f（α-β）的值．

解答：解：（1）依題意有A=1，則f（x）=sin（x+φ），將點M(

π

3

，

1

2

)代入得sin(

π

3

+φ)=

1

2

，而0＜φ＜π，∴

π

3

+φ=

5

6

π，∴φ=

π

2

，故f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx．
（2）依題意有cosα=

3

5

，cosβ=

12

13

，而α，β∈(0，

π

2

)，∴sinα=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，sinβ=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=

56

65

．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，以及兩角差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，是�？碱}．