Question

9．已知函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，且滿足分f（0）=-3，f（-1）=f（3）=-6，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[a，a+2]，試將y=f（x）的最大值表示成關(guān)于a的函數(shù)g（a）．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)函數(shù)為f（x）=a（x-1）²+k，利用f（0）=-3，f（-1）=f（3）=-6，即可求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[a，a+2]，分類討論求出最大值，即可將y=f（x）的最大值表示成關(guān)于a的函數(shù)g（a）．

解答 解：（1）由題意，設(shè)函數(shù)為f（x）=a（x-1）²+k，則
∵f（0）=-3，f（-1）=f（3）=-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+k=-3}\\{4a+k=-6}\end{array}\right.$，
∴a=-1，k=-2，
∴f（x）=-（x-1）²-2；
（2）a≤-1時(shí)，g（a）=f（a+2）=-（a+1）²-2；
-1＜a＜1時(shí)，g（a）=f（1）=-2；
a＞1時(shí)，g（a）=f（a）=-（a-1）²-2．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}-2a-3，a≤-1}\\{-2，-1＜a＜1}\\{-{a}^{2}+2a-3，a≥1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法，考查函數(shù)的最大值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．