Question

18．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，且f（x）同時(shí)滿足以下條件：
①f（x）在D上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)；
②存在閉區(qū)間[a，b]?D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我們稱函數(shù)y=f（x）（x∈D）是閉函數(shù)．
（1）判斷f（x）=-x³是不是閉函數(shù)？若是，找出條件②中的區(qū)間；若不是，說明理由．
（2）若f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（注：本題求解中涉及的函數(shù)單調(diào)性不用證明，直接指出是增函數(shù)還是減函數(shù)即可）

Answer 1

分析 （1）由條件利用閉函數(shù)的定義判斷f（x）=-x³是不是閉函數(shù)．
（2）根據(jù)閉函數(shù)的定義，a，b是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0的兩根，且a≥k，b＞k．令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，得$\left\{\begin{array}{l}{f（k）≥0}\\{△＞0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，由此求得k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=-x³在R上是減函數(shù)，滿足①；
設(shè)存在區(qū)間[a，b]，f（x）的取值集合也是[a，b]，則$\left\{\begin{array}{l}{{-a}^{3}=b}\\{{-b}^{3}=a}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
所以存在區(qū)間[-1，1]滿足②，
所以f（x）=-x³（x∈R）是閉函數(shù)．
（2）f（x）=k+$\sqrt{x+2}$在[-2，+∞）上的增函數(shù)，
由題意知，f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是閉函數(shù)，存在區(qū)間[a，b]滿足②，即：$\left\{\begin{array}{l}{k+\sqrt{a+2}=a}\\{k+\sqrt{b+2}=b}\end{array}\right.$．
即a，b是方程k+$\sqrt{x+2}$=x的兩根，化簡(jiǎn)得，
a，b是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0的兩根，且a≥k，b＞k．
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，得$\left\{\begin{array}{l}{f（k）≥0}\\{△＞0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-$\frac{9}{4}$，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查閉函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于中檔題．