Question

求（2x-1）⁵的展開式中
（1）各項系數之和；
（2）各項的二項式系數之和；
（3）偶數項的二項式系數之和；
（4）各項系數的絕對值之和；
（5）奇次項系數之和．

Answer 1

分析：（1）設（2x-1）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵令x=1得各項系數之和a₀+a₁+…+a₅=1；
（2）各項的二項式系數之和C₅⁰+C₅¹+…C₅⁵=2⁵=32
(3)偶數項的二項式系數之和

C

1 5

+

C

3 5

+

C

5 5

=

1

2

×25=16
（4）令x=-1，得到各項系數的絕對值之和；
（5））奇次項系數之和為a₁+a₃+a₅，然后求出其值即可．

解答：解：（1）設（2x-1）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵
令x=1得各項系數之和a₀+a₁+…+a₅=1；
（2）各項的二項式系數之和C₅⁰+C₅¹+…C₅⁵=2⁵=32
(3)偶數項的二項式系數之和

C

1 5

+

C

3 5

+

C

5 5

=

1

2

×25=16
（4）令x=-1，則a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=（-3）⁵=-243，即各項系數絕對值和為243
(5)a1+a3+a5=

(a0+a1+…+a5)-(a0-a1+a2+…-a5)

2

=

1+243

2

=122

點評：求二項展開式的系數和問題，一般通過觀察，給二項式中的x賦合適的值求出需要的系數和，屬于基礎題．