Question

6．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式（不需證明）．
（1）a₁=0，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$； 
（2）對一切的n∈N^*，a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．

Answer 1

分析 分別由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后例歸納猜測可得兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）a₁=0，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{1}{2-{a}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
a₄=$\frac{1}{2-{a}_{3}}$=$\frac{3}{4}$，
則a_n=$\frac{n-1}{n}$，n∈N*，
（2）由a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，得2$\sqrt{{a}_{1}}$=a₁+1，解得a₁=1，
2$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}$=a₂+1，解得a₂=3，
2$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}$=a₃+1，解得a₃=5，
2$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}$=a₄+1，解得a₄=7，
由數(shù)列的前4項(xiàng)歸納猜測a_n=2n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的部分項(xiàng)歸納猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．