Question

8．已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（-2）=f（4）=-16，且函數(shù)f（x）最大值為2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（-2）=f（4），可得函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1，結(jié)合函數(shù)f（x）最大值為2，設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式，進(jìn)而可得答案；
（2）分析給定區(qū)間[t，t+1]與對稱軸的位置，進(jìn)而得到函數(shù)的在[t，t+1]上的單調(diào)性和最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（-2）=f（4），
所以函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1，
又因?yàn)閒（x）_max=2，
所以設(shè)f（x）=a（x-1）²+2，a＜0，
由f（-2）=a（-2-1）²+2=-16得a=-2，
所以f（x）=-2（x-1）²+2=-2x²+4x，
即所求函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=-2x²+4x．
（2）①當(dāng)t+1≤1即t≤0時(shí)，
y=f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（t+1）=-2（t+1-1）²+2=-2t²+2；
②當(dāng)t≥1時(shí)，y=f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（t）=-2（t-1）²+2=-2t²+4t；
③當(dāng)t＜1＜t+1即0＜t＜1時(shí)，y=f（x）在[t，1]上單調(diào)遞增，在[1，t+1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（1）=-2（1-1）²+2=2．
綜上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}-2{t}^{2}+2，t≤0\\ 2，0＜t＜1\\-2{t}^{2}+4t，t≥1\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．