Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學生的興趣增長，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學生注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下的公式：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（1）開講多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少時間？
（2）開講5分鐘與開講20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：第一小題求學生的接受能力最強其實就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可．
第二小題比較5分鐘和20分鐘學生的接受能力何時強，方法是把x=5代入第一段函數(shù)中，而x=20要代入到第二段函數(shù)中，比較大小即可．不同的自變量代入相應的解析式才能符合要求．

解答： 解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43，
為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為x=13，
故f（x）的最大值為f（10）=59，
當10＜x≤16時，f（x）=59
當x＞16時，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59
因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．
（2）f（5）=53.5，f（20）=47，
故開講5分鐘時學生的接受能力比開講20分鐘時要強一些．

點評：此題考查的是分段函數(shù)的基本知識及分段函數(shù)圖象增減性的應用．此題學生容易出錯，原因是學生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點．