Question

關(guān)于f(x)=3sin(2x+

π

4

)有以下命題：
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）；
②f（x）圖象與g(x)=3cos(2x-

π

4

)圖象相同；
③f（x）在區(qū)間[-

7π

8

，-

3π

8

]上是減函數(shù)；
④f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

8

，0)對(duì)稱．
其中正確的命題是

②③④

．

Answer 1

分析：由關(guān)于f(x)=3sin(2x+

π

4

)，知：①若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=

k

2

π（k∈Z）；②由f(x)=3sin(2x+

π

4

)=3cos[

π

2

-（2x+

π

4

）]=3cos（2x-

π

4

），知f（x）圖象與g(x)=3cos(2x-

π

4

)圖象相同；③由f(x)=3sin(2x+

π

4

)的減區(qū)間是[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z，知f（x）在區(qū)間[-

7π

8

，-

3π

8

]上是減函數(shù)；④由f(x)=3sin(2x+

π

4

)的對(duì)稱點(diǎn)是（

kπ

2

-

π

8

，0），知f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

8

，0)對(duì)稱．

解答：解：由關(guān)于f(x)=3sin(2x+

π

4

)，知：
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=

k

2

π（k∈Z），故①不成立；
②∵f(x)=3sin(2x+

π

4

)=3cos[

π

2

-（2x+

π

4

）]=3cos（2x-

π

4

），
∴f（x）圖象與g(x)=3cos(2x-

π

4

)圖象相同，故②成立；
③∵f(x)=3sin(2x+

π

4

)的減區(qū)間是：

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
即[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z，
∴f（x）在區(qū)間[-

7π

8

，-

3π

8

]上是減函數(shù)，故③正確；
④∵f(x)=3sin(2x+

π

4

)的對(duì)稱點(diǎn)是（

kπ

2

-

π

8

，0），
∴f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

8

，0)對(duì)稱，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的恒等變換的合理運(yùn)用．