Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=4acosB-ccosB．
（1）求cosB的值；   
（2）若

BA

•

BC

=2，且b=2

3

，求a和c的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知可得sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，再利用兩角和的正弦公式和三角形的內(nèi)角和定理即可得出；（2）由

BA

•

BC

=2，利用數(shù)量積可得accosB=2，利用cosB=

1

4

，可得ac=8，再利用余弦定理即可得出．

解答：解：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2RsinBcosC=8RsinAcosB-2RsinCcosB，
化為sinBcosC=4sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，
∴sin（B+C）=4sinAcosB，可得sinA=4sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

4

．
（2）∵

BA

•

BC

=2，
∴accosB=2，又cosB=

1

4

，∴ac=8，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∵b=2

3

，
∴12=a²+c²-4，化為a²+c²=16．
聯(lián)立

ac=8 a2+c2=16

，解得a=c=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形的內(nèi)角和定理、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．