Question

2．已知拋物線y=ax²，直線l₁，l₂都過點（1，-2）且互相垂直，若拋物線與直線l₁，l₂中的至少一條有公共點，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{8}$]．．

Answer 1

分析 先考慮拋物線與直線l₁，l₂沒有公共點，由題意直線l₁，l₂的斜率分別設為k₁，k₂，過點P（1，-2）的直線設為y=k（x-1）-2，由由y=k（x-1）-2與拋物線y=ax²聯(lián)立，得ax²-kx+k+2=0，由直線l₁、l₂都過點P（1，-2）且都與拋物線相切，知a≠0，△=k²-4ak-8a≥0，再由l₁⊥l₂，能求出a的取值范圍，利用補集思想可得結論．

解答 解：先考慮拋物線與直線l₁，l₂沒有公共點．
易知l₁斜率存在，且不為0．設l₁的斜率為k，則l₁的斜率為-$\frac{1}{k}$，
則l₁的方程為y+2=k（x-1），l₂的方程為y+2=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}}\\{y+2=k（x-1）}\end{array}\right.$得，ax²-kx+k+2=0．
由l₁與二次函數y=ax²（a＞0）的圖象沒有公共點知，${△}_{1}={k}^{2}-4a（k+2）＜0$…①．
同理，由l₂與二次函數y=ax²（a＞0）的圖象沒有公共點知，${△}_{2}=（-\frac{1}{k}）^{2}-4a（-\frac{1}{k}+2）＜0$…②．
由①得$2a-2\sqrt{{a}^{2}+2a}$＜k＜2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$；
由②得k＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，或k＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$．
依題意，若方程組①②無解
∴$2a-2\sqrt{{a}^{2}+2a}$≥$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$且2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$≤$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，即0＜a≤$\frac{1}{8}$．
∴方程組①②有解?a＞$\frac{1}{8}$．
∴拋物線與直線l₁，l₂中的至少一條有公共點，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{8}$]．
故答案為：（0，$\frac{1}{8}$]．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查正難則反的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，有難度．