已知可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)滿足f(x－2)＝f(－x)，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則(1)＝________，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(－3，f(－3))處的切線方程為________．

答案：
解析：

2，y＝－2x－3


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已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為(x)，滿足(x)＜f(x)，且y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，f(2)＝1，則不等式f(x)＜ex的解集為_(kāi)_______．

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已知函數(shù)y＝f(x)在定義域上可導(dǎo)，y＝f(x)的圖像如圖，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝(x)，則不等式x(x)≤0的解集是________．

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已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，f(2)＝1，則不等式f(x)＜ex的解集為_(kāi)______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過(guò)點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過(guò)點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫(huà)出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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