Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cos＞0”的否定是“?x∈R，cos≤0”；
②函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）在R上單調遞減；
③設f（x）是R上的任意函數(shù)，則f（x）|f（-x）|是奇函數(shù)，f（x）+f（-x）是偶函數(shù)；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x的都有f（x-2）=-

4

f(x)

，則f（x）為周期函數(shù)；
⑤命題p：?x∈R，x-2＞lgx；命題q：?x∈R，x²＞0．則命題p∧（￢q）是真命題；
其中真命題的序號是

 

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：①由含有一個量詞的命題的否定形式，即可判斷①；
②將f（x）化為f（x）=1-

2

1+ax

，討論a＞1，0＜a＜1得到函數(shù)的單調性，即可判斷；
③設F（x）=f（x）|f（-x）|，H（x）=f（x）+f（-x），由奇偶性的定義，即可判斷；
④結合條件，兩次將x換為x+2，得到f（x+4）=f（x），即可判斷④；
⑤可通過取特殊值，判斷p，q的真假，再由復合命題的真值表，即可判斷．

解答： 解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是““?x∈R，cosx≤0”，故①錯；
②函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）即f（x）=1-

2

1+ax

，當a＞1時，a^x遞增，
f（x）遞增，當0＜a＜1時，a^x遞減，f（x）遞減，故②錯；
③設f（x）是R上的任意函數(shù)，則設F（x）=f（x）|f（-x）|，H（x）=f（x）+f（-x），
則F（-x）=f（-x）|f（x）|，H（-x）=f（-x）+f（x）=H（x），故f（x）|f（-x）|不能判斷奇偶性，
f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，故③錯；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x的都有f（x-2）=-

4

f(x)

，將x換成x+2，得到f（x）f（x+2）=-4，
則有f（x+2）=f（x-2），再將x換為x+2，得到f（x+4）=f（x），則最小正周期為4，故④對；
⑤命題p：?x∈R，x-2＞lgx，比如x=3，則1＞lg3，p為真，；命題q：?x∈R，x²＞0，
比如x=0，不成立，則q為假，故命題p∧（￢q）是真命題，故⑤對．
故答案為：④⑤

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性和周期性及運用，考查命題的否定和復合命題的真假及真值表，屬于較基礎題．