Question

已知函數f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：當-

a

-2

＜1，即a＜2時，由二次函數的圖象和性質，易得滿足條件；當-

a

-2

≥1，即a≥2時，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則函數f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，不為單調函數，即-1+a＞2a-5，綜合討論結果可得答案．

解答： 解：當-

a

-2

＜1，即a＜2時，由二次函數的圖象和性質，可知：
存在x₁，x₂∈（-∞，1]且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
當-

a

-2

≥1，即a≥2時，
若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
則-1+a＞2a-5，
解得：a＜4，
∴2≤a＜4，
綜上所述：實數a的取值范圍是a＜4，
故答案為：a＜4

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，分段函數的圖象和性質，正確理解分段函數的單調性，是解答的關鍵．