Question

7．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作平行于漸進(jìn)線的一條直線交C于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)Q，若|PQ|=2|PF|，則C的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F．設(shè)PF平行于漸近線：y=$\frac{a}$x，則直線PF的方程：y=$\frac{a}$（x-c），與雙曲線聯(lián)立解得x_P，根據(jù)|PQ|=2|PF|，即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F．
設(shè)PF平行于漸近線：y=$\frac{a}$x，則直線PF的方程：y=$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：x=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$．
∵|PQ|=2|PF|，∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$=2×$（c-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}）$，
化為：c²=3a²，
解得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交、平行線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．