Question

17．某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件，每個(gè)配件的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，每個(gè)配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²，記改進(jìn)工藝后電子公司銷售該配件的月平均利潤是y（元）
（Ⅰ）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式
（Ⅱ）改進(jìn)工藝后，試確定該智能手機(jī)配件的售價(jià)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：y=[20（1+x）-15]（1-x²）a（0＜x＜1）．
（II）由（I）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：y=[20（1+x）-15]（1-x²）a
=5a（-4x³-x²+4x+1）（0＜x＜1）．
（II）y′=5a（-12x-2a+4）
=-10a（2x-1）（3x+2），
可得：0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增；$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得極大值即最大值，為5a×$[-4（\frac{1}{2}）^{3}-（\frac{1}{2}）^{2}+4×\frac{1}{2}+1]$=$\frac{45}{4}$a．
故改進(jìn)工藝后，該智能手機(jī)配件的售價(jià)為$\frac{3}{2}$×20=30元時(shí)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大為$\frac{45}{4}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．