Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

的定義域?yàn)榧�合A，a，b∈A
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）求證：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，考查f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)定義判斷．
（2）若a、b∈D，先化簡f（a）+f（b），再化簡f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比較發(fā)現(xiàn)是相等的式子．

解答： 解：（1）由題意得：

1-x

1+x

＞0，
∴-1＜x＜1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋海?1，1）；
故函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又∵f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，以及利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明等式．