Question

7．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點為M，拋物線C₂：y²=-2ax的焦點為F，若在曲線C₁的漸近線上存在點P使得PM⊥PF，則雙曲線C₁離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． $（{1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}}]$
• C． （1，+∞）
• D． $（{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，2}）$

Answer 1

分析 通過垂直關(guān)系，求出圓的圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離小于半徑，列出關(guān)系式求解即可．

解答 解：在曲線C₁的漸近線上存在點P使得PM⊥PF，即以MF為直徑的圓與漸近線有交點，M（-a，0）$F（{-\frac{a}{2}，0}），r=\frac{a}{4}$，圓心$N（{-\frac{3a}{4}，0}）$，由點N到漸近線$y=\frac{a}x$的距離小于等于半徑，$\frac{|\frac{3a}{4}×\frac{a}|}{\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}}＜\frac{a}{4}$即3b≤c，
解得$e∈（{1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}}]$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及圓心性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．