Question

18．已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公差和公比都是2，若對滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意分別令m=n=1，或m=1，n=2，根據(jù)數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公差和公比都是2即可求出首項，寫出通項公式即可，
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）對滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立，
令m=n=1，則a₁+a₁=a₂即a₂=2a₁，
令m=1，n=2，得a₁+a₂=a₃，
∵a₃=a₁+2，
∴3a₁=a₁+2，
解得a₁=1，a₂=2，
由題意數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公差和公比都是2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+2（\frac{n+1}{2}-1），n為奇數(shù)}\\{2•{2}^{\frac{n}{2}-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
則T_n=1×$\frac{1}{2}$+3×（$\frac{1}{2}$）²+5×（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+5×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{2}$+$\frac{2×\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{3}{2}$-（2n+3）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列得很等比數(shù)列的定義以及錯位相減法求和，考查了學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題