【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),的圖象恒在的圖象上方,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】
(1)首先求出f(x)導(dǎo)數(shù),分類討論a來判斷函數(shù)單調(diào)性;(2)利用轉(zhuǎn)化思想 y=f'(x)的圖象恒在y=ax3+x2﹣(a﹣1)x的圖象上方,即xex﹣ax>ax3+x2﹣(a﹣1)x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;即 ex﹣ax2﹣x﹣1>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,利用函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到a的范圍.
(1)f'(x)=xex﹣ax=x(ex﹣a)
當(dāng)a≤0時(shí),ex﹣a>0,∴x∈(﹣∞,0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<a≤1時(shí),令f'(x)=0得x=0或x=lna.
(i) 當(dāng)0<a<1時(shí),lna<0,故:x∈(﹣∞,lna)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,x∈(lna,0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
(ii) 當(dāng)a=1時(shí),lna=0,f'(x)=xex﹣ax=x(ex﹣1)≥0恒成立,f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)減區(qū)間;
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(﹣∞,0);
當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,lna)和(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(lna,0);
當(dāng)a=1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,+∞),無(wú)減區(qū)間.
(2)由(I)知f'(x)=xex﹣ax
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y=f'(x)的圖象恒在y=ax3+x2﹣(a﹣1)x的圖象上方;
即xex﹣ax>ax3+x2﹣(a﹣1)x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;
即 ex﹣ax2﹣x﹣1>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;
記 g(x)=ex﹣ax2﹣x﹣1(x>0),
∴g'(x)=ex﹣2ax﹣1=h(x);∴h'(x)=ex﹣2a;
(i) 當(dāng)時(shí),h'(x)=ex﹣2a>0恒成立,g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g'(x)>g'(0)=0;
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
∴g(x)>g(0)=0,符合題意;
(ii)當(dāng)時(shí),令h'(x)=0得x=ln(2a);
∴x∈(0,ln(2a))時(shí),h'(x)<0,
∴g'(x)在(0,ln(2a))上單調(diào)遞減;
∴x∈(0,ln(2a))時(shí),g'(x)<g'(0)=0;
∴g(x)在(0,ln(2a))上單調(diào)遞減,
∴x∈(0,ln(2a))時(shí),g(x)<g(0)=0,不符合題意;
綜上可得a的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(1)求b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[0,1]上的單調(diào)性,并證明;
(3)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)g(θ)的最小值恰為f(x)的最大值,求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4sincos x+.
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【題目】在直角梯形中,,,,,,為線段(含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè),,對(duì)于函數(shù),下列描述正確的是( )
A.的最大值和無(wú)關(guān)B.的最小值和無(wú)關(guān)
C.的值域和無(wú)關(guān)D.在其定義域上的單調(diào)性和無(wú)關(guān)
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【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上兩人所得與下三人等。問各得幾何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢,甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列。問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位)。這個(gè)問題中,戊所得為( )
A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢
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【題目】數(shù)學(xué)的對(duì)稱美在中國(guó)傳統(tǒng)文化中多有體現(xiàn),譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的和諧美.如果能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”,下列說法正確的是( )
A.對(duì)于任意一個(gè)圓,其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)
B.可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
C.正弦函數(shù)可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
D.函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形
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直線與交于點(diǎn)M.
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(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上;
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