Question

(本小題滿分14分)設b>0，橢圓方程為，拋物線方程為.如圖4所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在

第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經

過橢圓的右焦點.

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;

(2)設A,B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在

拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？

若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由

（不必具體求出這些點的坐標）.

Answer 1

滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和

4個

解析:

(1)解方程組得,

         所以點G的坐標為G(4,b+2)，

         由，得，求導數(shù)得，

        于是，拋物線在點G的切線l的斜率為，

        又橢圓中，即c=b,所以橢圓的右焦點為（b,0）

        由切線l過點，可知，解得b=1.

         所以滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和

(2) 在拋物線上存在點P，使得△ABP為直角三角形。且這樣的點有4個。

證明：分別過點A、B做y軸的平行線，交拋物線于M，N點，則∠MAB=90^O，∠NBA=90^O，  

      顯然M，N在拋物線上，且使得△ABM，△ABN為直角三角形。

     設拋物線的頂點為D，則點|OD|=1，又|OA|=|OB|=，顯然∠ADB>90^O.

     所以，在拋物線上位于點D、M和點D、N之間，一定分別存在一個點P，使得∠APB=90^O.

     綜上所述, 滿足條件的點共有4個。