Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2

3

，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓上不同的兩點，且x₁x₂+4y₁y₂=0
（1）求橢圓C的方程；
（2）求x₁²+x₂²；
（3）在x軸上是否存在一點P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率e=

3

2

，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2

3

，求出a，c，可得b，即可求橢圓C的方程；
（2）利用x₁x₂+4y₁y₂=0，結(jié)合橢圓方程，即可求x₁²+x₂²；
（3）假設(shè)存在點P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，利用韋達(dá)定理，可得x₁，x₂是方程z2-

8t

3

z+

32t2-18

9

=0的兩個根，利用根的判別式，即可求出t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵e=

c

a

=

3

2

，2c=2

3

∴c=

3

，a=2
∴b=1
∴橢圓C方程為   

x2

4

+y2=1．
（2）∵x₁x₂+4y₁y₂=0
∴x12x22=16y12y22
∴x12x22=16(1-

x12

4

)(1-

x2

4

2)
∴x12+x22=4
（3）假設(shè)存在點P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，
則(x1-t)2+y12=(x2-t)2+y22
∴(x1-x2)(x1+x2-2t)=y22-y12(x1-x2)(x1+x2-2t)=

(x1-x2)(x1+x2)

4

∵x₁≠x₂
∴x1+x2=

8t

3

又∵x1x2=

(x1-x2)2-(x12+x22)

2

=

32t2-18

9

∴x₁，x₂是方程z2-

8t

3

z+

32t2-18

9

=0的兩個根
∴△=

64t2

9

-4×

32t2-18

9

＞0
解得   -

3 2

4

＜t＜

3 2

4

∴存在一點P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，且t的取值范圍為(-

3 2

4

，

3 2

4

)．

點評：本題考查橢圓方程，考查向量知識、韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．