Question

2．已知曲線C：ax²-xy+b=0在點P（2，t）處的切線l的方程5x-y-6=0．
（1）求a，b的值；
（2）求證：曲線C上各點處的切線斜率總不小于$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）把已知曲線方程變形，得到y(tǒng)=$ax+\frac{x}$，求導后利用函數(shù)在x=2時的導數(shù)值等于切線的斜率，以及在x=2時曲線上點和切線上點的函數(shù)值相等列式求得a，b的值；
（2）直接由（1）中的導數(shù)得答案．

解答 （1）解：由C：ax²-xy+b=0，得y=$ax+\frac{x}$，
∴y′=a-$\frac{{x}^{2}}$，則y′|_x=2=a-$\frac{4}$，
∵曲線C：ax²-xy+b=0在點P（2，t）處的切線l的方程5x-y-6=0，
∴a-$\frac{4}=5$①，
再由x=2時曲線上點的函數(shù)值域直線上點的函數(shù)值相等，得$2a+\frac{2}=4$②，
解得：$a=\frac{7}{2}，b=-6$；
（2）證明：由（1）知，y′=$\frac{7}{2}+\frac{6}{{x}^{2}}≥\frac{7}{2}$．
∴曲線C上各點處的切線斜率總不小于$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查導數(shù)的幾何意義，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題．