【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,點也為拋物線的焦點.(1)若為橢圓上兩點,且線段的中點為,求直線的斜率;
(2)若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,設(shè)線段的長分別為,證明是定值.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】分析:(1)先利用拋物線的焦點是橢圓的焦點求出,進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用點差法求直線的斜率;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
詳解:因為拋物線的焦點為,所以,故.
所以橢圓.
(1)設(shè),,則
兩式相減得,
又的中點為,所以,.
所以.
顯然,點在橢圓內(nèi)部,所以直線的斜率為.
(2)橢圓右焦點.
當(dāng)直線的斜率不存在或者為時,.
當(dāng)直線的斜率存在且不為時,設(shè)直線的方程為,
設(shè),,聯(lián)立方程得
消去并化簡得,
因為,
所以,.
所以,
同理可得.
所以為定值.
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【題目】已知向量 =( sin ,1), =(cos ,cos2 ). (Ⅰ)若 =1,求cos( ﹣x)的值;
(Ⅱ)記f(x)= ,在△ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
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【題目】已知不等式|x+3|<2x+1的解集為{x|x>m}. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程|x﹣t|+|x+ |=m(t≠0)有解,求實數(shù)t的值.
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【題目】如圖,兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,設(shè)M、N分別是BD和AE的中點,那么;面CDE;;MN,CE異面其中正確結(jié)論的序號是______.
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【題目】在多面體中, 平面,,四邊形是邊長為的菱形.
(1)證明: ;
(2)線段上是否存在點,使平面,若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點. (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.
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【題目】已知圓經(jīng)過點,,圓心在直線上
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與圓C相切且與軸截距相等,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,且.
①求的取值范圍;
②求證:.
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【題目】已知圓C:,直線:.
(1)若直線被圓C截得的弦長為 ,求實數(shù)的值;
(2)當(dāng)t =1時,由直線上的動點P引圓C的兩條切線,若切點分別為A,B,則直線AB是否恒過一個定點?若存在,求出該定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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