【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
,點
也為拋物線
的焦點.(1)若
為橢圓
上兩點,且線段
的中點為
,求直線
的斜率;
(2)若過橢圓的右焦點
作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于
和
,設(shè)線段
的長分別為
,證明
是定值.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】分析:(1)先利用拋物線的焦點是橢圓的焦點求出,進而確定橢圓的標準方程,再利用點差法求直線的斜率;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于
的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.
詳解:因為拋物線的焦點為
,所以
,故
.
所以橢圓.
(1)設(shè),
,則
兩式相減得,
又的中點為
,所以
,
.
所以.
顯然,點在橢圓內(nèi)部,所以直線
的斜率為
.
(2)橢圓右焦點.
當直線的斜率不存在或者為
時,
.
當直線的斜率存在且不為
時,設(shè)直線
的方程為
,
設(shè),
,聯(lián)立方程得
消去并化簡得
,
因為,
所以,
.
所以,
同理可得.
所以為定值.
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【題目】已知向量 =(
sin
,1),
=(cos
,cos2
). (Ⅰ)若
=1,求cos(
﹣x)的值;
(Ⅱ)記f(x)=
,在△ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
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【題目】已知不等式|x+3|<2x+1的解集為{x|x>m}. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程|x﹣t|+|x+ |=m(t≠0)有解,求實數(shù)t的值.
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【題目】如圖,兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,設(shè)M、N分別是BD和AE的中點,那么;
面CDE;
;
MN,CE異面其中正確結(jié)論的序號是______.
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【題目】在多面體中,
平面
,
,四邊形
是邊長為
的菱形.
(1)證明: ;
(2)線段上是否存在點
,使
平面
,若存在,求
的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點. (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.
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【題目】已知圓C:,直線
:
.
(1)若直線被圓C截得的弦長為
,求實數(shù)
的值;
(2)當t =1時,由直線上的動點P引圓C的兩條切線,若切點分別為A,B,則直線AB是否恒過一個定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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