函數(shù)f（x）滿足：（1）定義域是（0，+∞）；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜2；
（3）對(duì)任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的問(wèn)題
（1）求出f（1）的值；
（2）寫(xiě)出一個(gè)滿足上述條件的具體函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．
（1）由題意對(duì)任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2
（2）f（x）=2+logax，其中a可以�。�0，1）內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)；
（3）f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
事實(shí)上，設(shè)0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1
由已知x＞1時(shí)，f（x）＜2可得，f(
x2
x1
)＜2
∴f(x2)=f(
x2
x1
•x1)=f(
x2
x1
)+f(x1)-2＜2+f（x1）-2=f（x1）．
即f（x2）＜f（x1）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•安徽模擬）給出以下命題：
①函數(shù)f(x)=|log2x2|既無(wú)最大值也無(wú)最小值；
②函數(shù)f（x）=|x2-2x-3|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；
③若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f（x2）的定義域?yàn)椋?1，1）；
④若函數(shù)f（x）滿足|f（-x）|=|f（x）|，則函數(shù)f（x）或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)；
⑤設(shè)f（x）與g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意x1，x2∈R（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|恒成立，且函數(shù)f（x）在R上遞增，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在R上遞增．
其中正確的命題是
②④⑤
②④⑤
（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x≠0，函數(shù)f（x）滿足f（x-
1
x
）=x2+
1
x2
，則f（x）的表達(dá)式為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=4x，x∈（1，2）時(shí)，f(x)=
f(1)x
，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
5
5
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

?x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈
0，1
時(shí)f(x)=cos
π
2
x，那么在x∈
-1，4
上方程f（x）=0的所有根的和是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•贛州模擬）函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（0）f′（1）＞0，設(shè)f'（x）=0的兩根為x1，x2，則|x1-x2|的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案