Question

3．已知不等式|a-2x|＞x-1，對任意x∈[1，2]恒成立，則a的取值范圍為（-∞，2）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 依題意，只需考慮x∈[1，2]的情況即可．對a-2x的符合討論，利用恒成立思想即可求得答案．

解答 解：由于當x＜1時，不等式|a-2x|＞x-1恒成立，與a無關(guān)．
故我們只需考慮x∈[1，2]的情況．
（1）當a-2x≥0，即a≥2x時，得到a-2x＞x-1，解得a＞3x-1，
又x∈[1，2]，
∴a＞（3x-1）_max，
∵y=3x-1在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴x=2時，（3x-1）_max=5，
∴a＞5（a≥4與a＞5的公共部分）；
（2）當a-2x≤0，即a≤2x時，
由a-2x＜-x+1，解得a＜x+1，
∴a＜（x+1）_min，
∵y=x+1在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴x=1時，（x+1）_min=2，
∴a＜2（a≤2與a＜2的公共部分）．
綜合上述，a的取值范圍為a＜2或者a＞5．
故答案為：（-∞，2）∪（5，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想與不等式思想，對a-2x的符合討論以去掉絕對值符號是關(guān)鍵，屬于難題．