Question

已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的最大值.

（參考數(shù)值:自然對(duì)數(shù)的底數(shù)≈）.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法1是將函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立，利用參數(shù)分離法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是求得導(dǎo)數(shù)，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)求出的取值范圍；（2）先將代入函數(shù)的解析式并求出的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理找出函數(shù)的極值點(diǎn)所存在的區(qū)間，結(jié)合條件確定的最大值.

試題解析：（1）解法1：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719032342757654/SYS201411171903373031179411_DA/SYS201411171903373031179411_DA.024.png">，

，.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，即對(duì)都成立.

對(duì)都成立.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取等號(hào).

，即，的取值范圍為.

解法2：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719032342757654/SYS201411171903373031179411_DA/SYS201411171903373031179411_DA.024.png">，

，.

方程的判別式.

①當(dāng)，即時(shí)，，

此時(shí)，對(duì)都成立,

故函數(shù)在定義域上是增函數(shù).

②當(dāng)，即或時(shí)，要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，

只需對(duì)都成立.

設(shè),則，得.

故.

綜合①②得的取值范圍為；

（2）當(dāng)時(shí)，.

.

函數(shù)在上存在極值，

∴方程在上有解,

即方程在上有解.

令，由于，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減.

，

，

函數(shù)的零點(diǎn).

方程在上有解，，.

，的最大值為.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.參數(shù)分離法；3.二次函數(shù)的零點(diǎn)分布；4.基本不等式；5.零點(diǎn)存在定理