Question

4．已知y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)且為奇函數(shù)，若對(duì)任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，則當(dāng)x＞3時(shí)，x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． （3，7）
• B． （9，25）
• C． （13，49）
• D． （9，49）

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有關(guān)知識(shí)可求．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，定義在R上的增函數(shù)且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴f（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
設(shè)M （x，y），則當(dāng)x＞3時(shí)，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，
則d=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)的距離．
由下圖可知：d的最小值是OA=$\sqrt{13}$，
OB=OC+CB，5+2=7，
當(dāng)x＞3時(shí)，x²+y²的范圍為（13，49）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及圓的有關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是把“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“形”的問(wèn)題，借助于圖形的幾何意義減少了運(yùn)算量，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合：及”轉(zhuǎn)化”的思想在解題中的應(yīng)用．