Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²-bx+1（a、b∈R）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，則a+b的最小值是（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  2

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：求出f′（x），因為函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)得到f（-1）和f（3）都小于0分別列出關(guān)于a與b的兩個不等式，聯(lián)立即可解出a的取值范圍得到a的最小值，把a(bǔ)的最小值當(dāng)然①即可求出b的最小值，求出a+b的值即可．

解答：解：f′（x）=x²+2ax-b，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)即在區(qū)間[-1，3]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且9+6a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-6a≥9④，
設(shè)u=2a+b≥1，v=b-6a≤9，
假設(shè)a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（-6a+b）
=（2m-6n）a+（m+n）b，
對照系數(shù)得：2m-6n=1，m+n=1，解得：m=

7

8

，n=

1

8

，
∴a+b=

7

8

u+

1

8

v≥2，
則a+b的最小值是2．
故選C

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，靈活運用不等式的范圍求未知數(shù)的最值，是一道綜合題．