Question

11．設(shè)等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且a₅+a₆=24，S₁₁=143．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，且2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-2（λ是非零實數(shù)），{c_n}是等比數(shù)列嗎？若是，求λ的值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知列方程組求得首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式求得答案；
（2）把（1）中求得的{a_n}的通項公式代入2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-2，得到T_n，分類求出{c_n}的通項公式，由首項不適合n≥2時的通項公式，可得{c_n}不是等比數(shù)列．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由a₅+a₆=24，S₁₁=143，
得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=24}\\{11（{a}_{1}+5d）=143}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-2，且a_n=2n+1，
得2²ⁿ=λT_n-2，
∴${T}_{n}=\frac{{2}^{2n}+2}{λ}$，
則${c}_{1}={T}_{1}=\frac{6}{λ}$；
當n≥2時，${c}_{n}={T}_{n}-{T}_{n-1}=\frac{{2}^{2n}+2-{2}^{2n-2}-2}{λ}$=$\frac{3•{2}^{2n-2}}{λ}$．
驗證${c}_{1}=\frac{3}{λ}$不適合上式，
∴數(shù)列{c_n}不是等比數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓練了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，是中檔題．