Question

6．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁=1，a_n+1²-a_n+1=a_n²+a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{a_n^2}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，可得a_n+1-a_n=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$，當(dāng)n≥2時(shí) $\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 （1）解：由已知得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）證明：由（1）知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)  $\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴${T_n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}$$≤1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=2-\frac{1}{n}＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．