Question

1．設(shè)點(diǎn)P為有公共焦點(diǎn)F₁、F₂的橢圓M和雙曲線Γ的一個交點(diǎn)，$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{4}{5}$，橢圓M的離心率為e₁，雙曲線Γ的離心率為e₂．若e₂=2e₁，則e₁=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．

Answer 1

分析 由橢圓及雙曲線的定義可知m+n=2a₁，m-n=2a₂．利用余弦定理，求得10=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{9}{{e}_{2}^{2}}$，將e₂=2e₁，即可求得e₁．

解答 解：設(shè)橢圓與雙曲線的半長軸分別為a₁，a₂，半焦距為c．e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨設(shè)m＞n，
則m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴m²+n²=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$，mn=${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$
4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，
∴4c²=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$-2（${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$）×$\frac{4}{5}$．
整理得：10c²=${a}_{1}^{2}$+9${a}_{2}^{2}$，
∴10=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{9}{{e}_{2}^{2}}$，又e₂=2e₁，
∴40${e}_{1}^{2}$=13，e₁∈（0，1）．
解得：e₁=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．
∴橢圓的離心率e₁=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線及橢圓的離心率公式，考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．